中3生の志望校選びを大きく左右する、秋の「第3回 学習の診断」。
数学（50点満点）で「なんとしても30点以上の壁を越えたい！」という生徒のために、地藤塾秘伝の実戦演習プリント「ヤルゾプリント改（LV3 Part12）」の問題と手書き解答を公開します！
第12弾となる今回は、計算・小問集合に加え、「素数・式の値・整数の2乗をつくる分数」「二等辺三角形と正三角形を組み合わせた角度・半球の表面積」「1次関数のグラフ上の正方形と文字座標」「途中から走る1次関数の移動グラフ」を徹底攻略します。
問題・手書き解答PDFのダウンロード
まずは自力で解けるかチャレンジしてみましょう！
第12回で30点を突破するための「3大攻略ポイント」
ポイント①：問題1(4)・問題2(2)(3) 小問の「有理化」「因数分解してから代入」で計算時間を半分にする！
・問題1(4)「√2 ＝ 1.414 として、1/√2 の値を求めよ」では、いきなり 1 ÷ 1.414 の筆算をしてはいけません。手書き解答のように、まず分母を有理化して「√2 / 2 ＝ 1.414 / 2 ＝ 0.707」と暗算で求めましょう。
・問題2(2)「x ＝ 5 ＋ √6、y ＝ 5 − √6 のとき、xの2乗 − 2xy ＋ yの2乗 の値」も、そのまま代入するのではなく、まず「(x − y)の2乗」に因数分解してから代入すると「(2√6)の2乗 ＝ 24」と一瞬で解けます。
・問題2(3)「180/n をある整数の2乗にする最小の自然数 n」は、180を素因数分解すると「2の2乗 × 3の2乗 × 5」になるため、ペアのない「5」を約分して消せる「n ＝ 5」が正解です。
ポイント②：問題3(1)・(2) 「隠れた二等辺三角形（AD＝AC）」の発見と「半球の底面」忘れを防ぐ！
二等辺三角形ABCと正三角形ADBが重なった角度問題と、半径3cmの半球の表面積を求める問題。
どちらも診断テストで差がつく定番の応用パターンです。
・問題3(1) ∠BDCの大きさの求め方：
まず △ABC は AB＝AC の二等辺三角形なので、∠ACB ＝ 73° より頂角 ∠BAC ＝ 180° − 73°×2 ＝ 34° です。
次に △ADB は正三角形なので ∠DAB ＝ 60° となり、合わせるて ∠DAC ＝ 34° ＋ 60° ＝ 94° となります。
ここで最大のポイントは、「AB＝AC かつ AB＝AD なので、△ADC も AD＝AC の二等辺三角形になっている」と気づくことです！
よって ∠ADC ＝ (180° − 94°) ÷ 2 ＝ 43° と求まり、∠BDC ＝ 60° − 43° ＝ 17° が導けます。
・問題3(2) 半球の表面積：
球の表面積（4π × 3の2乗 ＝ 36π）を半分にした曲面「18π」だけで終わってしまうミスが多発します。下にある「底面の円の面積（3の2乗 × π ＝ 9π）」を必ず足して、18π ＋ 9π ＝ 27π（平方センチメートル）と求めましょう。
ポイント③：問題4 グラフ上の正方形は「点Aの座標を (a, 2a＋1) と文字でおく」のが鉄則！
直線 y ＝ 2x ＋ 1 上に点Aをとり、正方形ABCDをつくる関数と図形の融合問題。
関数と図形が組み合わさった問題では、手書き解答のように点Aの座標を文字で表すところからスタートします。
・各設問の攻略ステップ：
(1) 線分ADの長さ ＝ 点Aは直線 y ＝ 2x ＋ 1 上の点で x座標が a なので、y座標は「2a ＋ 1」となり、A(a, 2a ＋ 1) と表せます。
縦の辺 AB の長さが「2a ＋ 1」なので、正方形の横の辺 AD の長さも「2a ＋ 1」です！
(2) 正方形の面積が 36 のときの点Dの座標 ＝
面積が 36 ということは、正方形の1辺の長さは「6」です。
よって「2a ＋ 1 ＝ 6」を解くと、a ＝ 5/2 となり、点Aの座標は「(5/2, 6)」とわかります。
点Dは点Aから右へ1辺の長さ（6）だけ進んだ点なので、x座標に 6 を足して「5/2 ＋ 6 ＝ 17/2」。よって点Dの座標は「(17/2, 6)」と求まります！
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